Odpowiedź częstotliwościowa filtra działającej średniej Odpowiedź częstotliwościowa układu LTI to DTFT odpowiedzi impulsu, Odpowiedź impulsowa średniej ruchomej L wynosi Od filtra średniej ruchomej jest FIR, odpowiedź częstotliwościowa zmniejsza się do skończonej sumy może użyć bardzo użytecznej tożsamości, aby napisać odpowiedź częstotliwościową, tak jak wtedy, gdy zostawiliśmy ae minus jomega. N 0, i M L minus 1. Możemy być zainteresowani wielkością tej funkcji, aby określić, które częstotliwości przechodzą przez filtr, a które są tłumione. Poniżej znajduje się wykres wielkości tej funkcji dla L 4 (czerwony), 8 (zielony) i 16 (niebieski). Oś pozioma zawiera się w zakresie od zera do pi radianów na próbkę. Należy zauważyć, że we wszystkich trzech przypadkach charakterystyka częstotliwościowa ma charakter dolnoprzepustowy. Stały komponent (częstotliwość zerowa) na wejściu przechodzi przez filtr nieskorygowany. Niektóre wyższe częstotliwości, takie jak pi 2, są całkowicie eliminowane przez filtr. Jeśli jednak chodzi o zaprojektowanie filtra dolnoprzepustowego, to nie zrobiliśmy tego zbyt dobrze. Niektóre z wyższych częstotliwości są tłumione tylko o współczynnik około 110 (dla średniej ruchomej 16 punktów) lub 13 (dla czteropunktowej średniej ruchomej). Możemy zrobić o wiele lepiej. Powyższy wykres został utworzony przez następujący kod Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)). (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- iomega8)). (1-exp (-iomega)) H16 (116) (1-exp (-iomega16)). (1-exp (-iomega)) wykres (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( H16)) oś (0, pi, 0, 1) Kopia praw autorskich 2000- - Uniwersytet Kalifornijski, Berkeley Przetwarzanie sygnałów cyfrowych Filtry cyfrowe Filtry cyfrowe są w istocie układami próbkowymi. Sygnały wejściowe i wyjściowe są reprezentowane przez próbki z jednakową odległością czasową. Filtry odpowiedzi typu Finite Implulse (FIR) charakteryzują się odpowiedzią czasową zależną tylko od danej liczby ostatnich próbek sygnału wejściowego. Innymi słowy: gdy sygnał wejściowy spadnie do zera, wyjście filtra zrobi to samo po określonej liczbie okresów próbkowania. Wyjście y (k) jest podane przez liniową kombinację ostatnich wejściowych próbek x (k i). Współczynniki b (i) podają masę dla kombinacji. Odpowiadają one również współczynnikom licznika funkcji transferu filtru z domeny. Poniższy rysunek przedstawia filtr FIR rzędu N 1: w przypadku filtrów liniowych wartości współczynników są symetryczne wokół środkowej, a linia opóźnienia może zostać złożona wokół tego środkowego punktu, aby zmniejszyć liczbę mnożeń. Funkcja transferu filtrów FIR wykonuje tylko licznik. Odpowiada to filtrowi zerowemu. Filtry FIR zwykle wymagają dużych zamówień, w wielkości kilkuset. Tak więc wybór tego rodzaju filtrów będzie wymagał dużej ilości sprzętu lub procesora. Mimo to, jednym z powodów, dla których warto wybrać implementację filtru FIR, jest możliwość uzyskania liniowej odpowiedzi fazowej, co w niektórych przypadkach może być wymagane. Niemniej jednak projektant fasetowy ma możliwość wyboru filtrów IIR o dobrej liniowości fazowej w pasmie, takich jak filtry Bessela. lub zaprojektowanie filtra allpass w celu skorygowania odpowiedzi fazowej standardowego filtra IIR. Przenoszenie średnich filtrów (MA) Edycja modeli ruchomych średnich (MA) to modele procesów w postaci: procesy MA to alternatywna reprezentacja filtrów FIR. Średnie filtry Edytuj Filtr obliczający średnią N ostatnich próbek sygnału Jest to najprostsza forma filtru FIR, z wszystkimi jednakowymi współczynnikami. Funkcja przenoszenia filtra średniego jest określona przez: Funkcja przenoszenia filtra średniego ma N równo rozmieszczonych zer na osi częstotliwości. Jednak zero przy DC jest maskowane przez biegun filtra. W związku z tym istnieje większy płat DC, który odpowiada za pasmo przenoszenia filtra. Filtry kaskadowo integrator-grzebień (CIC) Edycja kaskadowy filtr grzebieniowy całkujący (CIC) jest specjalną techniką wdrażania średnich filtrów umieszczonych w szeregu. Umieszczenie szeregów średnich filtrów poprawia pierwszy płat w DC w porównaniu do wszystkich pozostałych płatków. Filtr CIC realizuje funkcję przenoszenia N średnich filtrów, z których każdy oblicza średnią próbek RM. Jego funkcja transferu jest zatem określona przez: filtry CIC są używane do zdziesiątkowania liczby próbek sygnału przez współczynnik R lub, w innych kategoriach, do ponownego próbkowania sygnału z niższą częstotliwością, wyrzucając R 1 próbek z R. Współczynnik M wskazuje, jak dużo pierwszego płata jest używane przez sygnał. Liczba średnich stopni filtrów, N. wskazuje, jak dobrze inne pasma częstotliwości są tłumione, kosztem mniej płaskiej funkcji przenoszenia wokół DC. Struktura CIC pozwala na wdrożenie całego systemu tylko z dodatkami i rejestrami, bez użycia mnożników, które są chciwe pod względem sprzętowym. Próbkowanie w dół przez współczynnik R pozwala zwiększyć rozdzielczość sygnału bitami log 2 (R) (R). Filtry kanoniczne Edytuj Filtry kanoniczne realizują funkcję przesyłania filtra z kilkoma elementami opóźniającymi równymi kolejności filtrów, jeden mnożnik na współczynnik licznika, jeden mnożnik na współczynnik mianownika i seria sumatorów. Podobnie jak w przypadku filtrów aktywnych filtrów kanonicznych, tego rodzaju obwody okazały się bardzo wrażliwe na wartości elementów: niewielka zmiana współczynników miała duży wpływ na funkcję przenoszenia. Również w tym przypadku konstrukcja aktywnych filtrów została przesunięta z filtrów kanonicznych na inne struktury, takie jak łańcuchy sekcji drugiego rzędu lub filtry typu "leapfrog". Łańcuch sekcji drugiego rzędu Edytuj sekcję drugiego rzędu. często określane jako biquad. realizuje funkcję transferu drugiego rzędu. Funkcję przenoszenia filtru można podzielić na iloczyn funkcji przenoszenia, z których każda jest powiązana z parą biegunów i ewentualnie z zerą. Jeśli kolejność funkcji przenoszenia jest nieparzysta, do łańcucha należy dodać sekcję pierwszego rzędu. Ta sekcja jest powiązana z rzeczywistym biegunem i rzeczywistym zerem, jeśli istnieje. forma bezpośrednia 1 forma bezpośrednia 2 forma bezpośrednia 1 transponowana forma bezpośrednia 2 transponowana Forma bezpośrednia 2 transponowana z poniższego rysunku jest szczególnie interesująca pod względem wymaganego sprzętu, a także kwantyzacji sygnału i współczynnika. Cyfrowe filtry zrzutowe Edytuj strukturę filtra Edytuj Cyfrowe filtry przesuwne bazują na symulacji analogowych aktywnych filtrów typu "leapfrog". Motywem do tego wyboru jest dziedziczenie po doskonałych własnościach czułości pasm przenoszenia oryginalnego obwodu drabinkowego. Następny 4-biegunowy dolnoprzepustowy filtr dolnoprzepustowy może zostać zaimplementowany jako obwód cyfrowy przez zastąpienie integratorów analogowych akumulatorami. Zastąpienie integratorów analogowych akumulatorami upraszcza transformację Z do Z 1 s T. które są dwoma pierwszymi pojęciami z serii Taylora z e x p (s T). To przybliżenie jest wystarczająco dobre dla filtrów, w których częstotliwość próbkowania jest znacznie większa niż szerokość pasma sygnału. Edycja funkcji przenoszenia Reprezentacja stanu w poprzednim przedziale filtre może być zapisana jako: Z tego zestawu równań można zapisać macierze A, B, C, D jako: Z tej reprezentacji narzędzia do przetwarzania sygnałów, takie jak Octave lub Matlab, pozwalają na wykreślenie odpowiedź częstotliwościowa filtra lub zbadanie jego zer i biegunów. W cyfrowym filtrze przeskoku względne wartości współczynników określają kształt funkcji przenoszenia (Butterworth Chebyshev.), Natomiast ich amplitudy określają częstotliwość odcięcia. Dzieląc wszystkie współczynniki przez współczynnik dwóch przesunięć, częstotliwość odcięcia spada o jedną oktawę (również współczynnik dwa). Szczególnym przypadkiem jest filtr kolejności Buterwortha 3, który ma stałe czasowe o wartościach względnych 1, 12 i 1. Z tego powodu ten filtr może być zaimplementowany w sprzęcie bez mnożnika, ale zamiast tego używa przesunięć. Filtry autoregresyjne (AR) Edycja modeli autoregresyjnych (AR) to modele procesowe w postaci: gdzie u (n) jest wyjściem modelu, x (n) jest wejściem modelu, a u (n - m) są poprzednimi próbki wyjściowej wartości modelu. Filtry te są nazywane autoregresyjnymi, ponieważ wartości wyjściowe są obliczane na podstawie regresji poprzednich wartości wyjściowych. Procesy AR można przedstawić za pomocą filtru wielobiegunowego. Filtry ARMA Edycja autoregresyjnych filtrów ruchomych (ARMA) to kombinacje filtrów AR i MA. Dane wyjściowe filtru podano jako liniową kombinację zarówno ważonej wejściowej, jak i ważonej próbki wyjściowej: procesy ARMA można uznać za cyfrowy filtr IIR, z biegunami i zerami. Filtry AR są preferowane w wielu przypadkach, ponieważ można je analizować za pomocą równań Yule-Walker. Z drugiej strony procesy MA i ARMA mogą być analizowane za pomocą skomplikowanych równań nieliniowych, trudnych do zbadania i modelowania. Jeśli mamy proces AR ze współczynnikami kranu a (wektor (n), a (n - 1).) Wejście x (n). i wyjście z y (n). możemy użyć równań yule-walker. Mówimy, że x 2 jest wariancją sygnału wejściowego. Traktujemy sygnał danych wejściowych jako sygnał losowy, nawet jeśli jest to sygnał deterministyczny, ponieważ nie wiemy, jaka będzie wartość, dopóki go nie otrzymamy. Możemy wyrazić równania Yule-Walker jako: gdzie R jest macierzą korelacji krzyżowej wyjścia procesowego And r jest macierzą autokorelacji wyjścia procesowego: Wariancja Edit Możemy pokazać, że: Możemy wyrazić wariancję sygnału wejściowego jako: Or , rozwijając i podstawiając dla r (0). możemy odnieść wariancję wyjściową procesu do wariancji wejściowej: Wprowadzenie do filtrowania 9.3.1 Wprowadzenie do filtrowania W dziedzinie przetwarzania sygnałów projektowanie cyfrowych filtrów sygnałowych obejmuje proces tłumienia pewnych częstotliwości i pobudzania innych. Uproszczony model filtra polega na tym, że sygnał wejściowy jest modyfikowany w celu uzyskania sygnału wyjściowego za pomocą formuły rekurencji. Implementacja (9-23) jest prosta i wymaga jedynie wartości początkowych, a następnie jest uzyskiwana w prostej iteracji. Ponieważ sygnały muszą mieć punkt początkowy, często wymaga tego i dla. Podkreślamy tę koncepcję, wprowadzając następującą definicję. Definicja 9.3 (Sekwencja przyczynowa) Biorąc pod uwagę sekwencje wejściowe i wyjściowe. Jeśli i, sekwencja jest uważana za przyczynową. Biorąc pod uwagę sekwencję przyczynową, łatwo obliczyć rozwiązanie (9-23). Skorzystaj z faktu, że sekwencje te są przyczynowe: Ogólny iteracyjny krok to 9.3.2 Podstawowe filtry Poniższe trzy uproszczone podstawowe filtry służą jako ilustracje. (i) Filtr zerowania, (zauważ, że). (ii) Zwiększenie filtru, (zauważ że). (iii) Filtr kombinowany. Funkcja przenoszenia dla tych filtrów modelu ma następującą ogólną postać, w której transformaty z sekwencji wejściowej i wyjściowej są odpowiednio i. W poprzednim rozdziale wspomnieliśmy, że ogólne rozwiązanie równania różnicy homogenicznej jest stabilne tylko wtedy, gdy zera charakterystycznego równania znajdują się wewnątrz koła jednostki. Podobnie, jeśli filtr jest stabilny, wszystkie bieguny funkcji przenoszenia muszą leżeć wewnątrz koła jednostki. Zanim opracujemy ogólną teorię, chcielibyśmy zbadać odpowiedź amplitudy, gdy sygnał wejściowy jest liniową kombinacją i. Odpowiedź amplitudy dla częstotliwości wykorzystuje złożony sygnał jednostkowy i jest zdefiniowany jako Formuła zostanie dokładnie wyjaśniona po kilku wstępnych przykładach. Przykład 9.21. Biorąc pod uwagę filtr. 9,21 (a). Pokaż, że jest to filtr wyzerowania dla sygnałów i obliczyć odpowiedź amplitudy. 9,21 (b). Oblicz odpowiedzi amplitudy i zbadaj przefiltrowany sygnał. 9,21 (c). Oblicz odpowiedzi amplitudy i zbadaj przefiltrowany sygnał. Rysunek 9.4. Odpowiedź amplitudy dla. Rysunek 9.5. Wejście i wyjście. Rysunek 9.6. Wejście i wyjście. Odkryj rozwiązanie 9.21. Przykład 9.22. Biorąc pod uwagę filtr. 9.22 (a). Pokaż, że jest to wzmacniający filtr dla sygnałów i obliczyć odpowiedź amplitudy. 9.22 (b). Oblicz odpowiedzi amplitudy i zbadaj przefiltrowany sygnał. Rysunek 9.7. Odpowiedź amplitudy dla. Rysunek 9.8. Wejście i wyjście. Odkryj rozwiązanie 9.22. 9.3.3 Ogólne równanie filtrów Ogólna postać równania różnicy filtrów porządkowych to gdzie i są stałe. Należy zwrócić uwagę, że podane terminy mają formę i gdzie i, co sprawia, że terminy te są opóźnione. Kompaktowa forma zapisu równania różnicy polega na tym, że sygnał wejściowy jest modyfikowany w celu uzyskania sygnału wyjściowego za pomocą formuły rekursji. Część zeruje sygnały i zwiększa sygnały. Uwaga 9.14. Wzór (9-31) jest nazywany równaniem rekursji, a współczynniki rekursji to i. Wyraźnie pokazuje, że obecne wyjście jest funkcją przeszłych wartości, dla bieżącego wejścia i poprzednich wejść dla. Sekwencje mogą być traktowane jako sygnały i są zerowe dla wskaźników ujemnych. Dzięki tym informacjom możemy teraz zdefiniować ogólną formułę dla funkcji transferu. Wykorzystanie właściwości time-delayed-shift dla sekwencji przyczynowych i pobranie z-transformacji każdego terminu w (9-31). uzyskujemy Możemy zsumować sumy i napisać to w równoważnej formie Z równania (9-33) otrzymamy co prowadzi do następującej ważnej definicji. Definicja 9.4 (funkcja przenoszenia) Funkcja przenoszenia odpowiadająca równaniu różnicy rzędów (8) jest określona wzorem (9-34) jest funkcją transferu dla nieskończonego filtra odpowiedzi impulsowej (filtr IIR). W szczególnym przypadku, gdy mianownik jest jednością, staje się on funkcją transferu dla skończonego filtra odpowiedzi impulsowej (filtr FIR). Definicja 9.5 (odpowiedź próbki jednostkowej) Sekwencja odpowiadająca funkcji przenoszenia jest nazywana odpowiedzią jednostka-próbka. Twierdzenie 9.6 (Reakcja wyjściowa) Odpowiedź wyjściowa filtra (10) przy danym sygnale wejściowym jest podawana przez odwrotną transformację z, a w formie splotu jest podawana przez Innym ważnym zastosowaniem funkcji transferu jest badanie wpływu filtru różne częstotliwości. W praktyce, ciągły sygnał czasu jest próbkowany z częstotliwością, która jest co najmniej dwa razy większa od częstotliwości sygnału wejściowego, aby uniknąć fałdowania częstotliwości lub aliasingu. Dzieje się tak dlatego, że transformata Fouriera próbkowanego sygnału ma charakter okresowy z okresem, choć tego tutaj nie udowodnimy. Aliasing zapobiega dokładnemu odtworzeniu oryginalnego sygnału z jego próbek. Teraz można pokazać, że argument mapy przekształceń Fouriera na okrąg jednostkowy płaszczyzny Z za pomocą wzoru (9-37), gdzie nazywa się znormalizowaną częstotliwością. Dlatego transformacja z, oceniana w kole jednostki, jest również okresowa, z wyjątkiem okresu. Definicja 9.6 (Reakcja amplitudowa) Reakcję amplitudy definiuje się jako wielkość funkcji transferu ocenianej na złożonym sygnale jednostki. Wzór jest (9-38) w przedziale. Podstawowe twierdzenie algebry oznacza, że licznik ma korzenie (zwane zerami), a mianownik ma korzenie (zwane biegunami). Zera mogą być wybrane w parach sprzężonych w kole jednostki i dla. Aby zachować stabilność, wszystkie bieguny muszą znajdować się w kręgu jednostek i dla. Ponadto bieguny są wybierane jako liczby rzeczywiste i lub w sprzężonych parach. To zagwarantuje, że współczynniki rekurencji będą rzeczywistymi liczbami. Filtry IIR mogą mieć wszystkie bieguny lub zero-biegun i stabilność jest istotna dla filtrów FIR i wszystkie filtry zerowe są zawsze stabilne. 9.3.4 Projektowanie filtrów W praktyce do obliczenia sygnału wyjściowego wykorzystywana jest formuła rekursji (10). Jednak konstrukcja filtra cyfrowego opiera się na powyższej teorii. Zaczyna się od wybrania położenia zer i biegunów odpowiadających wymaganiom projektowym filtra i konstrukcji funkcji transferu. Ponieważ współczynniki są rzeczywiste, wszystkie zera i bieguny mające wyimaginowany składnik muszą występować w parach sprzężonych. Następnie współczynniki rekursji są identyfikowane w (13) i używane w (10), aby zapisać filtr rekursywny. Zarówno licznik, jak i mianownik można obliczyć na współczynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych i ewentualnie jednym lub dwóch czynnikach liniowych o współczynnikach rzeczywistych. Poniższe zasady zostały użyte do skonstruowania. (i) Czynniki zerujące Aby odfiltrować sygnały i wykorzystać współczynniki postaci w liczniku. Przyczynią się do terminu (ii) Wzmocnienie czynników Aby wzmocnić sygnały i zastosować czynniki formy
No comments:
Post a Comment